Voici une modélisation de l'évolution de la température de l'air jusque l'altitude de 45000 mètres.
Trois zones à observer. Et pour chaque zone, il y a une relation assez simple puisqu'il s'agit de droites !
Une feuille de calculs sous EXCEL va être disponible sur le site de NEWS de RAF : rubrique ballons.
Vous pourrez paramétrer votre vol, dans l'atmosphère et connaitre à l'avance quelle sera l'altitude maximale
et le temps de vol. Toutes les explications figurent dans le mode d'emploi.
Voici le graphique de la pression atmosphérique en fonction de l'altitude. On peut dire que la pression tend vers le zéro en haute altitude !
Voici le graphique des masses volumiques de l'air et de l'hélium dans l'enveloppe du ballon. En haute
altitude elles sont très faibles mais l'air et toujours plus lourd que l' hélium !
Le volume de l'enveloppe Latex augmente avec l'altitude considérablement ! Un ballon de 4 mètres cube, peut atteindre 1000 mètres cube à 45000 mètres d'altitude (théoriquement). Dans cet exemple, ce ballon
de 4 mètres cube a "éclaté" vers 33700 mètres à plus de 220 mètres cube. La raison est que la masse volumique de l'air (densité) devient très faible et la pression aussi, alors le volume augmente.
La poussée d'Archimède est Fa = rhoair . V . g
On observe que rhoair diminue et V le volume augmente, la vitesse de montée sera linéaire et presque
constante en fonction du temps.
Le départ est paramétré pour une vitesse de 5 mètres par seconde.
L'enveloppe Latex va éclater si le volume admissible est dépassé ! Le fabricant donne le diamètre atteint à l'éclatement (ne pas dire "explosion"). Ici l'éclatement pour une enveloppe de 1200 grammes se situe
à environ 7,5 mètres de diamètre, ce qui donne une altitude simulée de 33723 m.
CALCULS MONTEE
BALLON HELIUM
document BHAF 2017
Ballons Haute Altitude France
AVA-3 le 7 octobre 2016
L’objet de cette feuille
EXCEL « calculs montée » est de définir un modèle de
l’évolution des paramètres du vol jusqu’à une altitude
maximale de 45000 mètres.
Il y a des records d’altitude !
Il n’est pas tenu compte
de l’éclatement de l’enveloppe qui va dépendre du type
d’enveloppe et de sa qualité. Celle-ci doit être vérifiée !
Dans cette feuille on
pourra facilement observer la ligne des paramètres au moment d’un
éclatement dont on connaît après le vol, l’altitude exacte.
Par exemple, on peut
obtenir les valeurs du volume et du diamètre de l’enveloppe juste
avant l’éclatement.
Exemple numérique :
33723 m et 7,5 mètres de diamètre. L’enveloppe étant donnée
pour un éclatement à 8,9 mètres par exemple.
Chaque type d’enveloppe
a son diamètre à l’éclatement, ce qui permet en fonction du
choix de l’enveloppe de choisir une altitude d’éclatement.
Voir tableau :
La quantité d’hélium
injectée intervient puisque c’est l’augmentation du volume
d’hélium qui va provoquer ou non, l’éclatement.
Il faut savoir que la Fal
étant presque constante, la baisse de la masse volumique de l’air,
de 1,23 kg par mètre cube à 5 grammes à 45000 m, est compensée
par l’augmentation du
volume de l’enveloppe de 4 m^3 à 954 m^3 ou 2 m à 12 m de
diamètre.
colonnes :
--A altitude Z
--B masse volumique de
l’air suivant Z
--C volume enveloppe en
m^3
--D diamètre de
l’enveloppe en m
La relation qui donne la
poussée d’Archimède ou force ascensionnelle est : Fa
= rhoair . V . g en newton. Colonne T
Si Fa est pratiquement
constant, et que rhoair diminue, on voit bien que V augmente.
Colonne : T pour Fa et V pour Fal
Le choix du volume V
de gonflage :
il ne se fera pas au
« pif » ou parce que c’est noté dans un document, mais
en fonction de la charge à soulever jusqu’à
une altitude voulue et
fonction de la vitesse de décollage. Utiliser la feuille DATAS. et
la feuille CALCULS.
Exemples :
Charge de 1,5 kg (sauf
hélium) avec enveloppe, ficelle, boites, parachute, réflecteur
radar. Charge 300 grammes. Colonne : E
Vitesse de montée
souhaitée : égale ou supérieure à 5 m/s Colonne :
Y
Volume de 3,75 m^3 au
gonflage Colonne : R
Voir feuille 2 CALCULS
établie pour une masse accessoire de 1,5 kg et une enveloppe de 1,2
kg . Colonnes A et B
Charge de 2,2 kg Charge
sans enveloppe : 1 kg
Vitesse de montée
souhaitée : 4,97 m/s
Volume de gonflage :
4,5 m^3
Voir feuille 2 CALCULS
établie pour une masse accessoire de 2,2 kg et une enveloppe de
1,2 kg ; Colonnes D et E
Charge de 2,5 kg Charge
sans enveloppe 1,3 kg
Vitesse de montée
souhaitée : 5 m/s
Volume de gonflage :
5,1 m¨3
Voir feuille 2 CALCULS
établie pour une vitesse de montée de 5 m/s et une enveloppe
de 1,2 kg Colonnes G et H
Force ascensionnelle
libre : Fal
Les relations utilisées
sont les suivantes .
Poussée d’ Archimède :
Pa = rhoair . V . g elle dépend de la masse
volumique de l’air ambiant autour de l’enveloppe, et de son
volume.
En fait , c’est bien le
poids de l’air « déplacé » dont le volume est égal à
celui pris par l’enveloppe.
Ainsi on peut dire que
TOUT OBJET ou CORPS placé dans l’air est soumis à une force
dirigée vers le haut qui est en rapport avec la valeur de son
volume.
Cette force est le poids
de l’air car P = m . g = rhoair . V . g On l’appelle
la Poussée d’ Archimède. Colonne T en newton
On peut démontrer la
relation, partant du principe que la cause est la différence de
pression atmosphérique entre le dessus de l’objet et le dessous de
l’objet.
Cette différence est
peut-être minime mais les forces appliquées au dessus et au dessous
sont plus fortes au dessous car la pression est plus forte.
pression = Force /
Surface et Force = pression . surface
Expérience : un
ballon de baudruche gonflé avec de l’air ne peut pas s’envoler !
Pourquoi ?
Il est soumis à la
Poussée d’ Archimède car c’est un volume, et on le gonfle pour
tout simplement augmenter son volume et donc la poussée vers le
haut.
Fa = Pa = rhoair . V
. g et Fal = Fa - (poids de l’enveloppe + poids de
l’air à l’intérieur)
Le poids de l’air
interne est sensiblement égal à la poussée d’Archimède et
ses deux forces sont opposées.
Conséquence : le
ballon de baudruche ne peut pas s’envoler, car il pèse le poids
de l’enveloppe.
Une solution serait de le
vider d’air ! Alors :
Fal = Fa - poids de
l’enveloppe
Fal ~ Fa
Mais il est impossible de
faire le vide dans un ballon de baudruche, en conservant son volume !
Sauf trouver une enveloppe rigide et très légère qui
supporterait le vide fait
à l’intérieur. Voir expérience des hémisphères de Magdebourg
(1654).
Une autre solution est de
remplir le ballon de baudruche avec un gaz plus léger que l’air !
Fal = Fa - poids du
gaz interne – poids de l’enveloppe et si on attache une
ficelle et une charge :
Fal = Fa - ( poids
du gaz interne + poids de l’ enveloppe + poids de la ficelle +
poids de la charge utile ) Colonne V en newton
Volume d’hélium
suivant l’altitude :
Le gaz à injecter dans
une enveloppe doit avoir une masse volumique inférieure à celle de
l’air ambiant pour que vole le ballon !
Il n’y a pas beaucoup de
gaz qui remplissent cette propriété. L’hydrogène est un gaz
très intéressant mais il n’est pas neutre et peut
provoquer l’explosion du
ballon ! Dans les conditions amateurs, sans autorisation
spéciale, on ne pourra pas l’utiliser.
Voir tableau des gaz plus
légers que l’air.
Le choix se porte sur
l’hélium, bien que ce gaz est rare, donc cher ! La
détermination du bon volume d’hélium en fonction de la masse
à envoyer à l’altitude
requise, est important pour éviter le gaspillage.
Hélium : symbole
He masse volumique 0,1786 kg / m^3 ou 0,1786 g / litre
1 litre = 1 dm^3
Masse atomique :
4,002602 Volume d’une mole : 22,414 litres ou
22,414 dm^3
Vitesse du son dans le
gaz : 972 m/s
La masse volumique varie
suivant l’altitude (la masse volumique de l’air aussi) .
L’injection d’un
volume d’hélium dans l’enveloppe au moment du gonflage, fait
qu’on peut connaître quel est la masse injectée.
Il est important de
mesurer la température de l’air et la pression atmosphérique au
moment du gonflage d’une enveloppe.
La masse volumique au sol
(Z0) est : RhoHe = pression atmosphérique / Ra . T
Ra = constante P en pascal T en Kelvin
Ra = 8,31432 /
0,004026 = 2065,156 J/kg/K constante
pour les mesures T =
15°C et p = 1013,25 hPa :
rhoHe = 1013,25 . 100
/ 2065 . (15 + 273,15 ) = 0,17028 kg / m^3 au
sol Colonne Q
La masse volumique varie
en fonction de la pression atmosphérique et de la température de
l’air (donc de l’hélium) Il serait intéressant
dans un projet de mesurer
la pression dans une enveloppe et la température de l’hélium.
Volume VHe en fonction de
l’altitude Z : Vz = m He / rhoHe en m^3
Colonne C
Le volume de la sphère (
l’enveloppe est assimilée à une forme sphérique) donne son
diamètre : r^3 = ¾ . V / pi = 0,2387326 . V
Colonne D
Résistance de l’air
et vitesse de montée :
Au décollage, le ballon
part d’une vitesse nulle et ensuite atteint une vitesse limite en
raison de la résistance de l’air
à son déplacement
vertical. Comme le ballon vole à la même vitesse que le vent après
avoir décollé, le mouvement relatif est bien vertical.
La résistance de l’air
est égale à la force ascensionnelle libre et on peut écrire :
Fal = R avec R = ½ . Cx . Sz . rhoairz . v^2
Cx : coefficient de
traînée , égal à 0,5 pour une sphère
Colonne W
Sz : section de la
sphère en m^2 Sz = pi/ 4 . ( 2. r ) ^2
Colonne X
rhoairz : masse
volumique de l’air en fonction de l’altitude en kg/m^3
Colonne B
v^2 : vitesse en
montée élevée au carré
Colonne Z
v : vitesse de
montée en m/s
Colonne Y
La résistance de l’air
étant égale à la force ascensionnelle libre qui a été
déterminée précédemment , on peut en déduire le seul paramètre
manquant : la
vitesse de montée du ballon.
v^2 = 2 . Falz /
Cx . Sz . rhoairz Colonne Z d’où
v Colonne Y
La valeur de départ est
souvent choisie à 5 m/s . Disons que dans beaucoup de lâchers,
suite à la dispersion sur l’évaluation du volume
d’hélium injecté, on
trouve des valeurs entre 3 et 6 m/s.
Or, il est à notre avis
indispensable de faire des choix en connaissance de cause, et choisir
le volume d’hélium avec précision conditionne
non seulement l’altitude
maximale atteinte et sa conséquence la distance parcourue jusqu’au
point de chute.
Le chapitre sur COMMENT
FAIRE LES PREVISIONS va montrer quels sont les principaux paramètres
d’un vol, à considérer avec de
la rigueur. La prévision
a principalement pour objectif d’essayer de localiser le point de
chute avec précision.
Autres paramètres :
Vous avez rencontré le
paramètre g :
qui est l’accélération
de la pesanteur. Les calculs se font avec 6 chiffrent après la
virgule, toujours dans le soucis
de s’assurer de la
meilleure précision. Or g n’est pas une valeur constante, et elle
diminue avec l’altitude et dépend aussi de la latitude.
Un chapitre sera consacré
à la pesanteur et au module d’accélération de la pesanteur g .
Pour tenir compte de
l’altitude, une relation a été utilisée pour les calculs :
gz = 6,67 .10^-11 . ( 5,97 . 10^24 / (6,37 . 10^6 + Z.
10^3 ) ^2 )
Voir la Colonne F
Vous avez rencontré
le paramètre : pression (z) la
pression en fonction de l’altitude est donné par la formule
suivante :
-
Z
--------------
7,96
p1 = p0 . e
avec Z altitude en km et p0 la
pression initiale et p1 à l’altitude Z Colonne N
La pression standard au niveau de
la mer est 1013,25 hPa (hecto pascal)
Il y a des relations plus
complexes mais celle-ci est satisfaisante, car proche du modèle
standard.
Voir le chapitre sur la
pression atmosphérique en fonction de l’altitude.
Vous avez rencontré le
paramètre température de l’air T °C
ou T K en fonction de l’altitude.
La conversion entre les
degrés Celsius et les Kelvin est : T K = T °C +
273,115 ex : 15°C => 15 + 271,15 = 286,15 K
L’atmosphère standard
est utilisée sur cette application de CALCULS MONTEE :
On distinguera 3 niveaux
avec des gradients différents :
0 à
11 km Tz = To - k. z avec To = 288,15 K et
k = -0,0065 °C/m Tz = (To °C + 273,15) - 0,0065 .
z
de 11 km à 20 km
Tz = Cte = - 56,5 °C ou 216,65 K ( le zero K est
à - 273,15 °C )
de 20 km à 32 km (
ou 50 km ) Tz = To + k ( z - 20000)
Colonne G en °C et
Colonne J en Kelvin
Voir le chapitre sur la
température en fonction de l’altitude
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A suivre : la descente d'un ballon modélisée sous Excel
Source directe : BHAF
73 from Alan F6AGV
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